1 ÚVOD

Cieľom tejto práce je odhadnúť ekonometrický model lúpeží v štáte South Dakota.

Úlohy:

1. Odhadnúť najlepší klasický model lineárnej regresie (t. j. v modeli sa vysporiadať s prípadnými problémami heteroskedasticity, autokorelácie, multikolinearity).

2. Pomocou RESET testu testovať, či navrhnutý model je vhodne špecifikovaný.

3. Vykonať intervalovú predpoveď vysvetľovanej premennej pre nasledujúce obdobie

 

Vysvetľovaná premenná:    počet lúpeží na 100tis. Obyv (robbery)

Vysvetľujúce premenné:     podiel černošskej populácie (afam)

                                           počet ľudí (population)

                                           reálny osobný dôchodok (income)

                                           hustota obyvateľstva (density)

Štát: South Dakota

2 ODHADNUTIE NAJLEPŠIEHO MODELU

Za najlepší model príjmeme ten, ktorého premenné budú štatisticky významné a zároveň sa v tomto modeli nebude vyskytovať heteroskedasticita, autokorelácia, multikolinearita.

Pracujeme v programe R. Hladina významnosti α, na ktorej budeme testovať je 0,05.

Heteroskedasticitu zisťujeme funkciou bptest.Hypotézy : H₀: v modeli nieje heteroskedasticita , H₁: v modeli sa vyskytuje heteroskedasticita. H₀ potvrdzujeme ak nám bptestom výjde p hodnota vyššia ako α=0,05.H₀ zamietame ak nám bptestom výjde p hodnota nižšia ako α=0,05

Autokoreláciu zisťujeme funkciou dwtest.Hypotézy : H₀: v modeli nieje autokorelacia , H₁: v modeli sa vyskytuje autokorelácia. H₀ potvrdzujeme ak nám dwtestom výjde dw hodnota blízko hodnoty 2.H₀ zamietame ak nám dwtestom výjde dw hodnota veľmi odlišná od hodnoty 2.

Multikolinearitu zisťujeme funkciou dwtest.Hypotézy : H₀: v modeli nieje Multikolinearita , H₁: v modeli sa vyskytuje Multikolinearita. H₀ potvrdzujeme ak nám vif-testom výjdu hodnoty všetkých vysvetľovaných, štatisticky významných premenných, menšie ako 5.H₀ zamietame sú tieto hodnoty vyššie ako 5.

2.1 Modely s pôvodnými údajmi.

V týchto modeloch vystupujú iba pôvodné údaje v štáte South Dakota.

 

> u<-read.csv2(“udaje.csv”,row.names=”year”)

> u

Zdrojové údaje:

robbery     afam population    income   density

1977    17.9 2.339211   0.688480 10441.040 0.0090643

1978    15.9 2.423829   0.688580 11226.220 0.0090656

1979    20.3 2.491668   0.688334 11192.780 0.0090624

1980    20.1 2.524423   0.690851  9843.678 0.0090959

1981    17.8 2.544488   0.689569 10358.300 0.0090790

1982    17.1 2.514136   0.690615 10232.280 0.0090928

1983    15.9 2.519391   0.692985 10195.000 0.0091240

1984    14.9 2.550775   0.697239 11142.620 0.0091800

1985    17.1 2.593929   0.698400 11058.290 0.0091953

1986    16.2 2.641168   0.695980 11349.770 0.0091634

1987    12.3 2.695240   0.696042 11591.310 0.0091642

1988    12.2 2.758011   0.698148 11625.490 0.0091920

1989    11.7 2.845020   0.696691 11857.900 0.0091728

1990    12.4 2.934257   0.696667 12373.360 0.0091790

1991    18.8 2.979279   0.701445 12398.490 0.0092419

1992    16.9 3.050100   0.708698 12755.860 0.0093375

1993    15.0 3.075289   0.716258 12791.290 0.0094371

1994    18.7 3.108550   0.723038 13175.900 0.0095264

1995    25.9 3.149601   0.728251 12980.590 0.0095951

1996    18.9 3.297938   0.730699 13802.360 0.0096274

1997    23.3 3.394381   0.730855 13839.610 0.0096294

1998    20.2 3.438749   0.730789 14536.910 0.0096286

1999    14.1 3.544923   0.733133 14974.520 0.0096595

2.1.1 Modely 1

> model1<-lm(robbery~afam+population+income+density,u)

> summary(model1)

 

Call:

lm(formula = robbery ~ afam + population + income + density,

data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-4.5562 -2.1474 -0.2624  1.7012  5.8267

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -1.922e+02  6.634e+01  -2.898   0.0096 **

afam        -1.129e+01  8.387e+00  -1.346   0.1949

population  -8.171e+03  5.226e+03  -1.564   0.1353

income      -2.130e-03  1.570e-03  -1.357   0.1916

density      6.492e+05  3.969e+05   1.635   0.1193

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 2.819 on 18 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.4795,     Adjusted R-squared: 0.3638

F-statistic: 4.145 on 4 and 18 DF,  p-value: 0.01491

 

Všetky vysvetľujúce premenné sú málo významné, preto vyhadzujem afam, pretože má najvyššiu hodnotu p.

 

> model1.1<-lm(robbery~population+income+density,u)

> summary(model1.1)

 

Call:

lm(formula = robbery ~ population + income + density, data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-4.2666 -2.3038 -0.2116  1.9284  6.6482

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -1.517e+02  6.038e+01  -2.513  0.02115 *

population  -5.233e+03  4.849e+03  -1.079  0.29398

income      -3.548e-03  1.189e-03  -2.984  0.00763 **

density      4.201e+05  3.662e+05   1.147  0.26554

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 2.879 on 19 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.4271,     Adjusted R-squared: 0.3366

F-statistic: 4.721 on 3 and 19 DF,  p-value: 0.01261

 

Ešte vždy sa v modeli nachádzajú málo významné premenné, vyhadzujem population , pretože má navyššiu hodnotu p.

 

> model1.2<-lm(robbery~income+density,u)

> summary(model1.2)

 

Call:

lm(formula = robbery ~ income + density, data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-3.7428 -2.4569 -0.6081  1.7178  6.2749

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -1.781e+02  5.543e+01  -3.213  0.00436 **

income      -3.044e-03  1.098e-03  -2.772  0.01176 *

density      2.496e+04  7.251e+03   3.443  0.00258 **

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 2.891 on 20 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.3919,     Adjusted R-squared: 0.3311

F-statistic: 6.446 on 2 and 20 DF,  p-value: 0.00691

 

V modeli 1.2 už máme významné premenné, preto tento model ideme ďalej testovať.

 

Testujeme heteroskedasticitu pomocou bptest :

H₀: nieje heteroskedasticita

H₁: je heteroskedasticita

 

> bptest(model1.2)

 

studentized Breusch-Pagan test

 

data:  model1.2

BP = 1.3819, df = 2, p-value = 0.5011

 

P hodnota je väčšia ako α, H₀ nezamietame. Môžeme predpokladať, že v modeli 1.2 nieje heteroskedasticita.

 

Testujeme autokoreláciu pomocou dwtest :

H₀: nieje autokorelácia

H₁: je autokorelácia

 

> dwtest(model1.2,alternative=”two.sided”)

 

Durbin-Watson test

 

data:  model1.2

DW = 1.4019, p-value = 0.05822

alternative hypothesis: true autocorelation is not 0

 

DW hodnota je ďaleko od hodnoty2 , model 1.2 je v tzv. “šedej zone”.

Záver: Model 1.2 zamietame, vytvárame nový model.

2.1.2 Modely 2

Logaritmická transformáacia, model 2.

model2<-lm(log(robbery)~log(afam)+log(population)+log(income)+log(density),u)

> summary(model2)

Call:

lm(formula = log(robbery) ~ log(afam) + log(population) + log(income) +

log(density), data = u)

Residuals:

Min       1Q   Median       3Q      Max

-0.24462 -0.12938 -0.01104  0.10066  0.33037

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)     1880.3363   914.0024   2.057   0.0544 .

log(afam)         -2.3300     1.2376  -1.883   0.0760 .

log(population) -413.2077   210.7683  -1.960   0.0656 .

log(income)       -1.3551     0.9589  -1.413   0.1747

log(density)     428.8655   210.8769   2.034   0.0570 .

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1593 on 18 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.509,      Adjusted R-squared: 0.3999

F-statistic: 4.665 on 4 and 18 DF,  p-value: 0.009254

Ešte vždy sa v modeli nachádzajú málo významné premenné, vyhadzujem income, pretože má najvyššiu hodnotu p.

> model2.1<-lm(log(robbery)~log(afam)+log(population)+log(density),u)

> summary(model2.1)

Call:

lm(formula = log(robbery) ~ log(afam) + log(population) + log(density),

data = u)

Residuals:

Min       1Q   Median       3Q      Max

-0.23296 -0.12386 -0.03878  0.14694  0.25830

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)     1829.261    936.940   1.952  0.06579 .

log(afam)         -3.389      1.011  -3.353  0.00334 **

log(population) -405.048    216.146  -1.874  0.07640 .

log(density)     419.824    216.239   1.941  0.06718 .

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1634 on 19 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.4546,     Adjusted R-squared: 0.3684

F-statistic: 5.278 on 3 and 19 DF,  p-value: 0.008108

V modeli 2.1 už máme významné premenné, preto tento model idem ďalej testovať.

 

Testujeme heteroskedasticitu pomocou bptest :

H₀: nieje heteroskedasticita

H₁: je heteroskedasticita

> bptest(model2.1)

studentized Breusch-Pagan test

data:  model2.1

BP = 1.2493, df = 3, p-value = 0.7412

P hodnota je väčšia ako α, H₀ nezamietame. Môžeme predpokladať, že v modeli 2.1 nieje heteroskedasticita.

 

Testujeme autokoreláciu pomocou dwtest :

H₀: nieje autokorelácia

H₁: je autokorelácia

> dwtest(model2.1,alternative=”two.sided”)

Durbin-Watson test

data:  model2.1

DW = 1.6105, p-value = 0.1076

alternative hypothesis: true autocorelation is not 0

DW hodnota nieje najidealnejšia, ale rozhodli sme sa juakceptovať, H₀ nezamietame, v modeli 2.1 nie je autokorelácia.

 

Testujeme multikolinearitu pomocou vif.

H₀: nieje multikolinearita

H₁: je multikolinearita

> vif(model2.1)

log(afam) log(population)    log(density)

12.86449     20328.06488     20891.66361

Hodnoty su vyššie ako 5,H₀ zamietame,H₁prijímame, v modeli 2.1 sa nachádza multikolinearita.

 

Záver: Model 2.1 zamietame, vytvárame nový model

2.1.3 Modely 3

V týchto modeloch využijeme diferenciálnu transformáciu.

>model3<-lm(diff(robbery)~diff(afam)+diff(population)+diff(income)+diff(density),u)

> summary(model3)

 

Call:

lm(formula = diff(robbery) ~ diff(afam) + diff(population) +

diff(income) + diff(density), data = u)

 

Residuals:

Min     1Q Median     3Q    Max

-4.623 -2.230  0.070  1.518  5.615

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)       5.655e-01  1.562e+00   0.362    0.722

diff(afam)       -1.238e+01  2.274e+01  -0.544    0.593

diff(population) -4.417e+03  7.694e+03  -0.574    0.573

diff(income)     -2.699e-03  1.776e-03  -1.520    0.147

diff(density)     3.498e+05  5.864e+05   0.596    0.559

 

Residual standard error: 3.62 on 17 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.2085,     Adjusted R-squared: 0.02222

F-statistic: 1.119 on 4 and 17 DF,  p-value: 0.38

 

Všetky vysvetľujúce premenné sú málo významné, preto vyhadzujem afam, pretože má najvyššiu hodnotu p.

 

>model3.1<-lm(diff(robbery)~diff(population)+diff(income)+diff(density),u)

> summary(model3.1)

 

Call:

lm(formula = diff(robbery) ~ diff(population) + diff(income) +

diff(density), data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-5.2003 -2.1339 -0.0041  1.5906  5.5832

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)      -6.051e-02  1.037e+00  -0.058   0.9541

diff(population) -3.741e+03  7.443e+03  -0.503   0.6214

diff(income)     -3.038e-03  1.631e-03  -1.863   0.0789 .

diff(density)     2.996e+05  5.677e+05   0.528   0.6041

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 3.549 on 18 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1947,     Adjusted R-squared: 0.06044

F-statistic:  1.45 on 3 and 18 DF,  p-value: 0.2614

 

Ešte vždy sa v modeli nachádzajú málo významné premenné, vyhadzujem population , pretože má najvyššiu hodnotu p.

 

> model3.2<-lm(diff(robbery)~diff(income)+diff(density),u)

> summary(model3.2)

 

Call:

lm(formula = diff(robbery) ~ diff(income) + diff(density), data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-5.2981 -2.1578 -0.0934  1.9891  5.5808

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)    4.423e-02  9.959e-01   0.044   0.9650

diff(income)  -2.958e-03  1.591e-03  -1.860   0.0785 .

diff(density)  1.451e+04  2.025e+04   0.717   0.4823

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 3.478 on 19 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1834,     Adjusted R-squared: 0.0974

F-statistic: 2.133 on 2 and 19 DF,  p-value: 0.1460

 

Ešte vždy sa v modeli nachádzajú málo významné premenné, vyhadzujem density , pretože má najvyššiu hodnotu p.

 

> model3.3<-lm(diff(robbery)~diff(income),u)

> summary(model3.3)

 

Call:

lm(formula = diff(robbery) ~ diff(income), data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-5.2171 -1.7167 -0.4599  1.7368  6.1416

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)   0.459348   0.800248   0.574    0.572

diff(income) -0.003067   0.001564  -1.961    0.064 .

—

Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 3.436 on 20 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1613,     Adjusted R-squared: 0.1193

F-statistic: 3.846 on 1 and 20 DF,  p-value: 0.06394

 

V modeli 3.3 už máme významné premenné, preto tento model ideme ďalej testovať.

 

Testujeme heteroskedasticitu pomocou bptest :

H₀: nieje heteroskedasticita

H₁: je heteroskedasticita

 

> bptest(model3.3)

 

studentized Breusch-Pagan test

 

data:  model3.3

BP = 2.0019, df = 1, p-value = 0.1571

 

P hodnota je väčšia ako α, H₀ nezamietame. Môžeme predpokladať, že v modeli 3.3 nieje heteroskedasticita.

 

Testujeme autokoreláciu pomocou dwtest :

H₀: nieje autokorelácia

H₁: je autokorelácia

 

> dwtest(model3.3,alternative=”two.sided”)

 

Durbin-Watson test

 

data:  model3.3

DW = 2.1541, p-value = 0.6741

alternative hypothesis: true autocorelation is not 0

 

DW hodnota je blízko 2,H₀ nezamietame, v modeli nie je autokorelacia.

Nieje možné testovať multikolinearitu, pretože máme len jednu premennú.

Záver: Model 3.3 zamietame.

2.1.4 Záver modelov s pôvodnými údajmi

Rozhodol som sa rozšíriť model o ďalšie štáty (Tennessee, Texas), pretože všetky premenné nám vychádzajú málovýznamné, prípadne nám nevýchádzajú testy autokorelácie, multikolinearity, prípadne mi ostane len jedna premenná s malou významnosťou.

2.2 Modely rozšírené o ďalšie údaje.

Pôvodné údaje rozšírime o ďalšie štáty Tennessee a Texas. Pre potreby predikcie budeme tieto pridané údaje považovať za údaje štátu South Dakota z predchádzajúcich období.

 

> u<-read.csv2(“udaje2.csv”)

Nové údaje:

>u

robberyafam population    income   density

1     17.9 2.339211   0.688480 10441.040 0.0090643

2     15.9 2.423829   0.688580 11226.220 0.0090656

3     20.3 2.491668   0.688334 11192.780 0.0090624

4     20.1 2.524423   0.690851  9843.678 0.0090959

5     17.8 2.544488   0.689569 10358.300 0.0090790

6     17.1 2.514136   0.690615 10232.280 0.0090928

7     15.9 2.519391   0.692985 10195.000 0.0091240

8     14.9 2.550775   0.697239 11142.620 0.0091800

9     17.1 2.593929   0.698400 11058.290 0.0091953

10    16.2 2.641168   0.695980 11349.770 0.0091634

11    12.3 2.695240   0.696042 11591.310 0.0091642

12    12.2 2.758011   0.698148 11625.490 0.0091920

13    11.7 2.845020   0.696691 11857.900 0.0091728

14    12.4 2.934257   0.696667 12373.360 0.0091790

15    18.8 2.979279   0.701445 12398.490 0.0092419

16    16.9 3.050100   0.708698 12755.860 0.0093375

17    15.0 3.075289   0.716258 12791.290 0.0094371

18    18.7 3.108550   0.723038 13175.900 0.0095264

19    25.9 3.149601   0.728251 12980.590 0.0095951

20    18.9 3.297938   0.730699 13802.360 0.0096274

21    23.3 3.394381   0.730855 13839.610 0.0096294

22    20.2 3.438749   0.730789 14536.910 0.0096286

23    14.1 3.544923   0.733133 14974.520 0.0096595

24   145.8 5.279520   4.422921 10041.550 0.1070200

25   152.4 5.289421   4.486313 10535.560 0.1085538

26   166.1 5.319052   4.560474 10451.900 0.1103483

27   180.6 5.422877   4.600252 10057.670 0.1117787

28   171.7 5.456529   4.627667 10078.820 0.1124448

29   175.7 5.478490   4.646043 10005.240 0.1128913

30   172.8 5.497006   4.659755 10276.000 0.1132245

31   166.8 5.512830   4.686740 10983.430 0.1138802

32   180.9 5.548528   4.715287 11340.720 0.1145739

33   207.7 5.570521   4.738713 11812.460 0.1151431

34   193.8 5.608800   4.782930 12198.190 0.1162175

35   173.6 5.648223   4.822437 12554.220 0.1171774

36   160.4 5.677438   4.854461 12754.050 0.1179556

37   191.2 5.716466   4.890626 12817.600 0.1186469

38   212.9 5.761827   4.946886 12794.690 0.1200118

39   218.2 5.822478   5.013999 13376.400 0.1216400

40   220.1 5.891873   5.085666 13601.550 0.1233786

41   207.4 5.952993   5.163016 13907.710 0.1252551

42   223.2 5.998587   5.241168 14257.200 0.1271511

43   223.7 6.064974   5.313576 14255.750 0.1289077

44   214.0 6.108415   5.378433 14485.450 0.1304812

45   178.0 6.169424   5.432679 15027.540 0.1317972

46   156.8 6.246919   5.483535 15277.700 0.1330309

47   152.4 4.556185  13.193060 11473.480 0.0503294

48   164.4 4.580187  13.500430 12089.540 0.0515020

49   191.8 4.601943  13.888370 12250.590 0.0529820

50   208.5 4.744435  14.338210 12038.010 0.0547224

51   193.3 4.805927  14.746310 12484.540 0.0562800

52   220.0 4.883739  15.331410 12343.750 0.0585130

53   189.3 4.936255  15.751680 12303.000 0.0601170

54   178.5 4.970795  16.007080 12846.760 0.0610918

55   193.5 5.008519  16.272740 13145.500 0.0621056

56   239.9 5.036673  16.561110 12875.990 0.0632062

57   226.7 5.067045  16.621800 12704.220 0.0634379

58   234.2 5.099752  16.667020 12902.810 0.0636105

59   223.1 5.170434  16.806730 13107.370 0.0641437

60   260.8 5.237154  17.044710 13303.000 0.0650775

61   286.5 5.293086  17.339900 13267.650 0.0662046

62   252.5 5.372058  17.650480 13593.660 0.0673904

63   224.4 5.464688  17.996760 13659.420 0.0687125

64   204.8 5.533391  18.338320 13836.480 0.0700166

65   179.8 5.657364  18.679710 14078.000 0.0713200

66   171.5 5.734717  19.006240 14323.700 0.0725667

67   157.0 5.807885  19.355430 15045.590 0.0738999

68   145.1 5.868867  19.712390 15759.520 0.0752628

69   146.7 5.940265  20.044140 16046.730 0.0765295

2.2.1 Modely 1

> model1<-lm(robbery~afam+population+income+density,u)

>summary(model1)

 

Call:

lm(formula = robbery ~ afam + population + income + density,

data = u)

 

Residuals:

Min      1Q  Median      3Q     Max

-79.401 -12.141  -3.179  17.917  79.514

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  6.499e+01  4.178e+01   1.556   0.1247

afam        -2.095e+00  2.601e+01  -0.081   0.9361

population   7.464e+00  1.568e+00   4.759 1.15e-05 ***

income      -4.793e-03  4.050e-03  -1.184   0.2409

density      1.318e+03  6.145e+02   2.145   0.0357 *

—

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 28.81 on 64 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.8998,     Adjusted R-squared: 0.8935

F-statistic: 143.6 on 4 and 64 DF,  p-value: < 2.2e-16

 

Máme málo významné premenné, odstránime afam, lebo má najvyššiu hodnotu p.

 

> model1.1<-lm(robbery~population+income+density,u)

>summary(model1.1)

 

Call:

lm(formula = robbery ~ population + income + density, data = u)

 

Residuals:

Min     1Q Median     3Q    Max

-79.25 -11.91  -3.20  18.13  79.48

 

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)  6.263e+01  2.961e+01   2.115   0.0382 *

population   7.346e+00  5.672e-01  12.952   <2e-16 ***

income      -5.050e-03  2.474e-03  -2.041   0.0453 *

density      1.269e+03  7.930e+01  16.003   <2e-16 ***

—

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

Residual standard error: 28.59 on 65 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.8998,     Adjusted R-squared: 0.8951

F-statistic: 194.5 on 3 and 65 DF,  p-value: < 2.2e-16

 

Všetky premenné už sú významné, model 1.1 ďalej testujeme.

 

Testujeme heteroskedasticitu pomocou bptest :

H₀: nieje heteroskedasticita

H₁: je heteroskedasticita

 

>bptest(model1.1)

 

studentizedBreusch-Pagan test

 

data:  model1.1

BP = 28.1645, df = 3, p-value = 3.355e-06

 

P hodnota je menšia ako α, H₀ zamietame, H₁ prijímame. Môžeme predpokladať, že v modeli 1.1 je heteroskedasticita.

Záver: Model zamietame.

2.2.2 Modely 2

Logaritmická transformácia, model 2.

>model2<-lm(log(robbery)~log(afam)+log(population)+log(income)+log(density),u)

>summary(model2)

Call:

lm(formula = log(robbery) ~ log(afam) + log(population) + log(income) +

log(density), data = u)

Residuals:

Min       1Q   Median       3Q      Max

-0.43683 -0.08424  0.00284  0.13841  0.41880

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)      8.99469    2.25607   3.987 0.000174 ***

log(afam)        0.07482    0.51092   0.146 0.884038

log(population)  0.40217    0.03236  12.429  < 2e-16 ***

log(income)     -0.34305    0.32857  -1.044 0.300373

log(density)     0.61733    0.13584   4.545  2.5e-05 ***

—

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1866 on 64 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9761,     Adjusted R-squared: 0.9746

F-statistic: 652.8 on 4 and 64 DF,  p-value: < 2.2e-16

V modeli odstránime najmenej významnú premennú afam, pretože má najvyššiu hodnotu p.

>model2.1<-lm(log(robbery)~log(population)+log(income)+log(density),u)

>summary(model2.1)

Call:

lm(formula = log(robbery) ~ log(population) + log(income) + log(density),

data = u)

Residuals:

Min       1Q   Median       3Q      Max

-0.43779 -0.08643  0.00150  0.13860  0.42296

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)      8.80037    1.81071   4.860 7.75e-06 ***

log(population)  0.40354    0.03075  13.122  < 2e-16 ***

log(income)     -0.30445    0.19459  -1.565    0.123

log(density)     0.63653    0.03515  18.110  < 2e-16 ***

—

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1852 on 65 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9761,     Adjusted R-squared: 0.975

F-statistic: 883.8 on 3 and 65 DF,  p-value: < 2.2e-16

V modeli odstránime najmenej významnú premennú income, pretože má najvyššiu hodnotu p.

> model2.2<-lm(log(robbery)~log(population)+log(density),u)

>summary(model2.2)

Call:

lm(formula = log(robbery) ~ log(population) + log(density), data = u)

Residuals:

Min       1Q   Median       3Q      Max

-0.49408 -0.06866  0.02820  0.13069  0.39445

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept)      5.97667    0.14773   40.45   <2e-16 ***

log(population)  0.38754    0.02932   13.22   <2e-16 ***

log(density)     0.64435    0.03517   18.32   <2e-16 ***

—

Signif.codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1872 on 66 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9752,     Adjusted R-squared: 0.9744

F-statistic:  1296 on 2 and 66 DF,  p-value: < 2.2e-16

Všetky premenné už sú významné, model 2.2 ďalej testujeme.

 

Testujeme heteroskedasticitu pomocou bptest :

H₀: nieje heteroskedasticita

H₁: je heteroskedasticita

>bptest(model2.2)

studentizedBreusch-Pagan test

data:  model2.2

BP = 6.5528, df = 2, p-value = 0.03776

P hodnota je menšia ako α, H₀ zamietame, H₁ prijímame. Môžeme predpokladať, že v modeli 2.2 je heteroskedasticita.

Záver: Model zamietame.